Contraction Mapping

释义 Definition

contraction mapping（压缩映射 / 收缩映射）：数学中指一种函数/映射，它会把任意两点之间的距离按固定比例“缩小”。更正式地说，存在常数 (0<c<1)，使得对所有 (x,y)，都有
[ d(f(x),f(y)) \le c, d(x,y). ]
它最重要的结论是：在适当的空间中，压缩映射通常保证存在且唯一的不动点（即 (f(x)=x) 的解）。

发音 Pronunciation (IPA)

/kənˈtrækʃən ˈmæpɪŋ/

例句 Examples

A contraction mapping brings points closer together.
压缩映射会把点与点之间的距离拉近。

By the contraction mapping principle, the iterative sequence converges to a unique fixed point in the complete metric space.
根据压缩映射原理，在完备度量空间中，该迭代序列会收敛到唯一的不动点。

词源 Etymology

contraction 来自拉丁语 contrahere（“拉拢、收缩”），表示“变短、缩小”。mapping 源自 “map”（“映射/对应”）在数学中的用法，指把一个集合中的元素按规则对应到另一个集合。合起来 contraction mapping 就是“具有收缩性质的映射”。

相关词 Related Words

• Banach
• Complete
• Converge
• Fixed
• Iteration
• Lipschitz
• Metric
• Theorem

文学与经典著作 Literary Works

• A First Course in Functional Analysis（Martin Davis）：在不动点与算子理论相关章节中讨论压缩映射思想。
• Functional Analysis（Erwin Kreyszig）：在度量空间与不动点定理部分使用“contraction mapping / contraction”术语。
• Nonlinear Functional Analysis and Its Applications（Eberhard Zeidler）：在非线性算子与不动点方法中频繁出现该概念。
• Introductory Functional Analysis with Applications（Erwin Kreyszig 之外常用教材如 Kreyszig/其他同类教材体系）：常在 Banach 不动点定理（也称收缩映射原理）处引入该词组。